Sök i programutbudet

Använd sökfunktionen för att leta efter kurser och program i Chalmers utbildningsutbud. Den programplan och utbildningsplan som avser dina studier är i allmänhet från det läsår du började dina studier.

​​​​​​​​​​​​​

Kursplan för

Läsår
MVE460 - Envariabelanalys och analytisk geometri
 
Kursplanen fastställd 2017-02-22 av programansvarig (eller motsvarande)
Ägare: TKKMT
7,5 Högskolepoäng
Betygskala: TH - Fem, Fyra, Tre, Underkänd
Utbildningsnivå: Grundnivå
Huvudområde: Matematik
Institution: 11 - MATEMATISKA VETENSKAPER


Undervisningsspråk: Svenska

Kursmoment   Poängfördelning   Tentamensdatum
Lp1 Lp2 Lp3 Lp4 Sommarkurs Ej Lp
0115 Laboration 1,5hp Betygskala: UG   1,5hp    
0215 Tentamen 6,0hp Betygskala: TH   6,0hp   24 Okt 2017 fm SB_M,  20 Dec 2017 fm SB,  24 Aug 2018 em J

I program

TKBIO BIOTEKNIK, CIVILINGENJÖR, Årskurs 1 (obligatorisk)
TKKEF KEMITEKNIK MED FYSIK, CIVILINGENJÖR, Årskurs 1 (obligatorisk)
TKKMT KEMITEKNIK, CIVILINGENJÖR, Årskurs 1 (obligatorisk)

Examinator:

Forskarassistent  Philip Gerlee


  Gå till kurshemsida

 

Behörighet:

För kurser på grundnivå inom Chalmers utbildningsprogram gäller samma behörighetskrav som till de(t) program där kursen ingår i programplanen.

Kursspecifika förkunskaper

Förkunskaper motsvarande särskild behörighet.

Syfte

Kursens syfte är att, tillsammans med övriga matematikkurser, ge en matematisk allmänbildning som är så användbar som möjligt i fortsatta studier och teknisk yrkesverksamhet. Kursen skall på ett logiskt och sammanhängande sätt ge sådana kunskaper i matematisk analys i en variabel, analytisk geometri, linjära ekvationssystem och Matlab som är nödvändiga för övriga kurser på K,- Bt- och Kf-programmen.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

Generellt


Efter genomgången kurs ska du självständigt i problemlösning kunna
hantera differentialkalkyl av funktioner bildade ur de elementära
funktionerna. I samband med detta ska du också kunna välja lämpliga
teoretiska resultat från den allmänna funktionsläran att utnyttja och ha
viss kännedom om deras grund. Du ska kunna lösa små linjära
ekvationssystem för hand med Gausselimination och generellt med MATLAB,
samt bestämma antalet lösningar till system. Du skall kunna
hantera vektorer och använda ekvationer för linjer och plan i rummet och göra
beräkningar med hjälp av dem.


Vad gäller MATLAB skall du dessutom kunna hantera gränssnittet, rita
grafer till funktioner, lösa ekvationer med intervallhalvering och
Newtons metod, samt använda kontrollstrukturer vid enklare
beräkningsuppgifter och enklare program skrivna som script. Du skall kunna skriva scripter för egna funktioner och kunna använda funktions handtag .


Grundläggande funktionslära


Du skall kunna avgöra en given funktions definitionsmängd och i
speciella fall även dess värdemängd. Du skall också kunna sätta samman
funktioner och veta när det är möjligt. Givet grafen av en funktion
skall du kunna avgöra om funktionen är kontinuerlig och/eller
inverterbar. Du bör även kunna översätta en med ord definierad funktion
till en matematisk funktion. För att klara detta bör du bland annat lära
dig:

  • Begreppen definitionsmängd och värdemängd.


  • Sammansättning av funktioner.


  • Vad invers funktion är och när den finns.


  • Innebörden av kontinuitet.


  • innebörden av de grundläggande satserna om kontinuerliga
    funktioner: max/min-saten, satsen om mellanliggande värden och att
    värdemängden till en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall
    är ett intervall.


Gränsvärden


Du skall förstå innebörden av gränsvärden av typen limx→±∞f(x), limx→ag(x),
etc., och du skall kunna beräkna enkla sådana gränsvärden. Du skall
också känna till begreppen höger- och vänstergränsvärden och veta att en
funktion, f(x), är kontinuerlig i en punkt, a, precis när limx→a+f(x)=limx→a−f(x)=f(a). För att klara detta behöver du bland annat lära dig:


  • Definitionen av gränsvärde.


  • Räkneregler för gränsvärden. Du ska också kunna bevisa vissa av dem.
  • Instängningsatsen och dess användning.


  • Vissa standardgränsvärden, t.ex. limx→0sin(x)/x=1...


  • Använda l'Hospitals regel.
  • Använda Taylors polynom och O(x) symbol för beräkning av gränsvärden.


  • Trigonometriska funktioner


    Du skall känna till de grundläggande trigonometriska funktionerna sinx,
    cosx och tanx, veta deras derivator och kunna rita deras grafer. Du
    skall kunna beräkna t.ex. sin(a) för vissa speciella a och du skall
    kunna lösa enkla trigonometriska ekvationer. Du skall även kunna använda
    trigonometriska funktioner för att solvera trianglar. För att klara
    detta bör du bland annat lära dig:


  • De trigonometriska funktionernas definitions- och värdemängder.


  • Sambandet mellan enhetscirkeln och de trigonometriska funktionerna.


  • Additions- och subtraktionsformlerna (inkluderat formler för dubbla vinkeln).


  • Sinus- och cosinussatserna.


  • Trigonometriska ettan.




Arcusfunktioner


Du ska kunna hantera beräkningar med som innehåller arcusfunktionerna
och veta deras värden i de fall då svaret är kända vinklar. Du ska veta
hur de är definierade, deras definitions- och värdemängder och deras
derivator. Speciellt viktiga är funktionerna arcsinx och arctanx. För
arctanx ska du också känna till dess gränsvärden när x→±∞. För att klara
detta behöver du bland annat lära dig:


  • De trigonometriska funktionernas definition och egenskaper.


  • Arcusfunktionernas definition.


  • Arcusfunktionernas derivata.


  • Hantera sammansättning mellan arcusfunktion och en trigonomtrisk .


  • Kunna använda trigonometriska formler (t.ex additionsformler).




Logaritmer och exponentialfunktioner


Du skall känna till funktionerna ln x och ex, kunna rita
deras grafer och beräkna deras derivator. Du skall också kunna beräkna
gränsvärden för funktioner som innehåller logaritm- och
exponentialfunktioner. För att klara detta bör du bland annat lära dig:


  • Logaritm- och exponentialfunktionernas definitions- och värdemängder


  • Standardgränsvärden, t.ex. limx→0ln(1+x)/x=1, limx→∞xk/ex=0, etc.


  • Logaritmlagar och räkneregler för exponenter


  • Att lnx och ex är varandras inverser, dvs. att x=eln x om x>0 och att x=ln(ex) för alla x.



Derivata


Du skall förstå sambandet mellan derivata och riktningskoefficient och
du skall kunna beräkna tangenter och normaler till kurvor. Du skall
också kunna beräkna derivator (bland annat av inversa funktioner) och du
skall kunna använda derivata för att avgöra var en funktion är
växande/avtagande och konvex/konkav. Du bör kunna förstå och tillämpa
medelvärdessatsen. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:


  • Derivatans definition.


  • Deriveringsregler, t.ex. kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln. Du ska kunna bevisa vissa regler.


  • Derivator av enkla funktioner, t.ex. polynom, trigonometriska
    funktioner, logaritmer och exponentialfunktioner. Du ska också kunna
    härleda (bevisa) derivatorna.


Allmän funktionslära


Du skall kunna avgöra på vilka intervall en given funktion är
växande/avtagande respektive konvex/konkav samt förstå innebörden av
detta; exempelvis att en strängt växande funktion är inverterbar. Du ska
också veta att deriverbarhet medför kontinuitet (men inte omvänt) och
du skall kunna bestämma tangentlinjen till en given funktion i en given
punkt. Du bör förstå och kunna tillämpa max-min-satsen och satsen om
mellanliggande värden, t.ex. för att visa att vissa ekvationer har
lösning(ar). För att klara detta bör du bland annat lära dig:


  • Innebörden av kontinuitet.


  • Max-min-satsen.


  • Satsen om mellanliggande värden.


  • Hur man med derivata avgör om en funktion växer eller avtar på ett intervall.


  • Derivatans definition och innebörd.


  • Andraderivatans innebörd och sambandet med begrepp konvex/konkav funktion




Lokala och absoluta extrempunkter


Du skall känna till att en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat
intervall har ett största och ett minsta värde. Du skall också kunna
beräkna lokala extrempunkter och kunna bestämma lokala och globala
maximum och minimum. För att klara detta behöver du bland annat lära
dig:


  • Max-min-satsen


  • Göra tecken studier för derivatan.


  • Att max och min antas antingen i punkter x där f'(x)=0, i randpunkter, eller punkter där f inte är deriverbar.


  • Att en funktion kan sakna största och minsta värde på ett
    intervall där inte båda ändpunkterna ingår, även om den är kontinuerlig.



  • Ta hänsyn till gränsvärden då variabeln går mot ett intervalls ändpunkter.
  • Hitta maximum och minimum/absoluta maximum och minimum.



Rita grafer


Att rita en graf betyder mer än att rita en kurva i ett koordinatsystem.
Det är en populär tentamensuppgift, eftersom det prövar många olika
kunskaper som ingår i kursen. När du ritar en graf ska du (oftast)
bestämma


  • Funktionens definitionsmängd.


  • Eventuella nollställen till funktionen.


  • Eventuella lodräta, sneda och vågräta asymptoter.


  • För lodräta asymptoter ska du utreda (oegentliga) höger- och vänstergränsvärden av funktionen.


  • För sneda och vågräta ska du utreda gränsvärde av funktionen när \(x\rightarrow\pm\infty\).


  • Var funktionen är växande respektive avtagande och lokala extrempunkter.


  • Eventuellt var funktionen är konkav (konkav nedåt) eller konvex (konkav uppåt).


  • Funktionens värdemängd.


För att klara detta behöver du bland annat kunna

  • Beräkna gränsvärden.


  • Lösa ekvationer.


  • Derivera.


  • Avgöra derivatans tecken på olika delar av tallinjen. Här behöver du kunna lösa olikheter.


  • Eventuellt avgöra andraderivatans tecken på olika delar av tallinjen.


  • Avgöra om en funktion har ett lokalt max eller min i en kritisk punkt.


  • Avgöra om en funktion har ett största eller ett minsta värde.


  • Tolka det du kommer fram till genom att illustrera med en skiss.

Taylors polynom, linjär approximation.

  • Beräkna linjär approximation till en funktion, uppskatta motsvarande felterm och intervaller där funktionsvärdet ligger.
  • Approximera en funktion med Taylorpolynom av andra eller tredje grad och uppskatta motsvarande felterm på Lagrange form.
  • Egenskaper hos O(x) symbolen
  • Tillämpning av Taylors polynom och O(x) symbolen för beräkning av gränsvärden




Linjära ekvationssystem


Du skall kunna lösa linjära ekvationssystem med Gausselimination
(radreduktion) och du skall kunna avgöra om ett ekvationssystem har
entydig lösning, oändligt många lösningar eller saknar lösningar. För
att klara detta bör du bland annat lära dig:


  • Skriva och tolka ett ekvationssystem på matrisform.


  • De elementära radoperationerna.


  • Begreppen pivotelement, trappstegsform och reducerad trappstegsform.


  • att förstå innebörden av fria variabler
  •  lös små linjära ekvationssystem för hand med
    Gausselimination och generellt med MATLAB, samt bestämma antalet
    lösningar till system.





Vektorräkning


Du skall kunna addera vektorer och multiplicera vektorer med tal
(skalärer). Du skall också kunna åskådliggöra dessa operationer
grafiskt. Du skall även kunna beräkna vektorers längd och kunna normera
vektorer liksom beräkna skalär- och kryss-produkter och förstå den
geometriska innebörden av detta. För att klara detta behöver du bland
annat lära dig:


  • Sambandet mellan geometriska vektorer och trippler av tal.


  • Att skilja på och förstå sambandet mellan en punkt i rummet/planet och tillhörande lägesvektor.


  • Definitionen av vektoraddition.


  • Innebörden av, samt att kunna beräkna skalär- och vektorprodukter.

Plan och linjer


Du skall kunna beskriva plan och linjer i rummet med ekvationer samt
beräkna/avläsa normalvektorer till plan och riktningsvektorer till
linjer beroende på deras geometriska egenskaper. Du skall också kunna tillämpa skalär- och vektorprodukt för att
göra längd- och avståndsberäkningar, t.ex. beräkna avståndet mellan en
punkt och ett plan, och avståndet mellan två linjer. För att klara detta bör du bland annat lära dig:


  • Förstå korrespondensen mellan geometriska egenskaper hos plan/linjer och motsvarande ekvationssystem.


  • Innebörden av, geometrisk mening, samt att kunna beräkna skalär- och vektorprodukter.


  • Använda ortogonal projektion av en vektor längs en annan vektor.
Matlab
  • Att skriva enkla program och funktioner i Matlab, kunna använda slingor, logiska uttryck, underprogram, funktionshandtag, grafik, formaterat textutskift
  • Tillämpning
    av approximativa metoder med iterationer och Newtons metod för att lösa
    ickelinjära ekvationer och programmera motsvarande algorithmer i Matlab
  • Lösa ekvationssystem och hantera matriser i Matlab


Innehåll

  • Systematisk teori för elementära funktioner: trigonometriska funktioner, arcusfunktioner, logaritmer, exponentialfunktioner som tjänar som huvudexempel för alla konstruktioner i envariabelanalys
  • Gränsvärdes- och kontinuitetsbegreppen, gränsvärdesberäkningar, undersökning av funktioner
  • Begreppet derivata, beräkning av derivator för funktioner med hjälp av grundläggande beräkningsreglerna
  • Begreppen stationär punkt, lokalt och absolut maximum och minimum samt kriterier för dem och tillämpning för enkla funktioner
  • Begreppet invers funktion, beräkning av inversa funktioner och deras derivator
  • Taylors polynom för elementära funktioner; användning av Taylorsutveckling för att beräkna gränsvärden
  • Skalär-, kryss-, och trippelprodukt av vektorer och tillämpningar för geometriska problem
  • Att bestämma geometriska egenskaper av vektorer, punkter, linjer, och plan i rummet med hjälp av ekvationer för dessa geometriska objekt och tvärtom - kunna skriva ekvationer för linjer och plan givna av geometriska villkor
  • Att skriva enkla program i Matlab, kunna använda slingor, logiska uttryck, underprogram, grafik, formaterat textutskift
  • Tillämpning av approximativa metoder med iterationer och Newtons metod för att lösa ickelinjära ekvationer och programmera motsvarande algorithmer i Matlab
  • Linjära ekvationssystem, utökad matris och Gauss eliminationsmetod
  • Lösa ekvationssystem och hantera matriser i Matlab

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar, lektioner i mindre grupper samt studioövningar med Matlab. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart. Se: http://www.chalmers.se/math/SV/utbildning/grundutbildning-chalmers/arkitekt-och/kemiteknik http://www.chalmers.se/math/SV/utbildning/grundutbildning-chalmers/arkitekt-och/kemiteknik-med-fysik http://www.chalmers.se/math/SV/utbildning/grundutbildning-chalmers/arkitekt-och/bioteknik

Litteratur

Kurslitteratur anges på kursens webbsida före kursstart.

Examination

Mer detaljerad information om examinationen ges på kursens webbsida före kursstart. Exempel på examinationsformer som kan förekomma är:
 -utvalda uppgifter redovisas muntligt eller skriftligt för lärare under kursens gång
 -annan dokumentation av kunskapsutvecklingen -projektarbete enskilt eller i grupp
 -skriftlig eller muntlig tentamen under och/eller i slutet av kursen
 -problem/uppgifter löses med dator och redovisas skriftligt och/eller vid dator.


Publicerad: fr 26 nov 2010. Ändrad: må 28 nov 2016